Forestil dig, at du sidder ved et casinobord med et system, der giver dig en lille, men ægte fordel på hvert spil. Du ved, at du statistisk set vil vinde i længden – men hvor meget bør du satse, så din formue vokser hurtigst muligt uden at gå bankerot undervejs? Det samme spørgsmål stiller millioner af investorer sig selv hver dag, hvad enten det gælder aktier, krypto eller automatiserede trading-strategier.
Svaret finder vi i Kelly-kriteriet – en matematisk formel, der siden 1950’erne har hjulpet både professionelle gamblere og Wall Street-ikoner med at bestemme den optimale positionsstørrelse. I stedet for blot at fokusere på afkast sigter Kelly efter at maksimere den logaritmiske vækst af din kapital, så du udnytter din edge uden at risikere ruin.
I denne artikel tager vi dig fra den teoretiske kerne bag Kelly til de praktiske trin, du kan implementere i din egen portefølje:
- Hvorfor Kelly-kriteriet kan være din hemmelige ingrediens til langsigtet kapitalvækst.
- Sandsynligheder, edge og den præcise formel – forklaret på dansk og med konkrete eksempler.
- Hvordan du håndterer usikkerhed med fractional Kelly og beskytter dig mod ubehagelige drawdowns.
- Trinvise regneeksempler fra møntkast til komplekse handelsstrategier.
- Sådan skalerer du Kelly til en hel portefølje med flere aktiver og korrelationer.
Er du klar til at optimere din risikostyring og få hvert investeringskroner til at arbejde smartere? Lad os dykke ned i risikojusteret positionsstørrelse med Kelly-kriteriet og se, hvordan du kan løfte din investeringsstrategi til næste niveau.
Hvad er Kelly-kriteriet – og hvorfor bruge det til positionsstørrelse?
Kelly-kriteriet blev oprindeligt udviklet i 1950’erne til at optimere satsninger på telefoni-kanaler, men har siden fundet vej til alt fra Las Vegas til Wall Street. I sin essens er kriteriet en matematisk metode til at bestemme den andel af ens kapital, der bør risikeres pr. handel for at maksimere den forventede langsigtede vækst. I stedet for at måle succes på kortsigtede gevinster eller på at maksimere den absolutte gevinst i ét forsøg, fokuserer Kelly på den geometriske (logaritmiske) vækstrate i formuen over tid.
Log-nytte: Hvorfor maksimere den geometriske vækst?
Når afkast akkumuleres multiplicativt – som de gør i både aktier, krypto og andre finansielle markeder – er det ikke den aritmetiske gennemsnitsgevinst, men den logaritmiske vækst, der bestemmer din endelige formue. Hvis du oplever et tab på 50 %, skal du efterfølgende tjene 100 % for blot at være tilbage til udgangspunktet.
Kelly-kriteriet vælger den positionsstørrelse, der maksimerer E[log(Wt+1)], hvor W er formuen. Dermed:
- Minimeres risikoen for ruin. En strategi, der satser for stort, kan ødelægge selv en solid “edge” på grund af store drawdowns.
- Undgås underbelåning. Satser du for småt, opnår du ikke den fulde effekt af din fordel, og porteføljen vokser langsommere end nødvendigt.
Overbelåning, underbelåning – Og den “søde plet”
| Strategi | Sats pr. handel | Langsigtet vækstrate | Kommentar |
|---|---|---|---|
| Underbelåning | < Kelly | Lavere end optimal | Sikker, men langsom vækst |
| Kelly-optimal | = Kelly | Højeste forventede log-vækst | Balance mellem risiko og afkast |
| Overbelåning | > Kelly | Faldende – kan blive negativ | Hurtige drawdowns, risiko for ruin |
Hvornår er kelly-kriteriet relevant?
- Aktiehandel: Swing- og positionstradere kan anvende Kelly til at vægte enkelte aktier eller optioner i porteføljen ud fra hit rate og payoff-forhold.
- Kryptovaluta: De store kursudsving og uforudsigelige “halesving” gør korrekt sizing afgørende. Fractional Kelly (f.eks. ½-Kelly) er ofte brugt for at dæmpe risikoen.
- Systematisk/algoritmisk handel: Når et sæt regler genererer tusindvis af uafhængige handler, passer Kelly-logikken perfekt, fordi antagelsen om gentagne, stationære odds nogenlunde holder.
- Porteføljestyring med gearing: Hedgefonde og prop-deske bruger Kelly-matricer til at allokere kapital mellem strategier under gearing- og marginbegrænsninger.
Fordele ved kelly-baseret positionsstørrelse
- Matematisk konsistens: Bygger på tydelige antagelser og maksimerer et klart defineret mål.
- Risikojusteret: Incorporerer både hit-rate (p) og payoff-forhold (b) i én størrelse.
- Dynamisk: Positionsstørrelsen skaleres automatisk ned, når kapitalen falder, og op når kapitalen stiger.
Men pas på faldgruberne
Kelly er ingen gratis frokost. Fejlvurderer du sandsynligheder eller gevinst/tab-forhold, kan den “optimale” sizing være direkte farlig. Derfor ser praktiske forvaltere ofte Kelly som et teoretisk loft og anvender kun en brøkdel – typisk 20-50 % – for at tage højde for model- og parameterskøn.
Sammenfattende giver Kelly-kriteriet et kraftfuldt framework til risikojusteret positionsstørrelse. Det hjælper dig med at balancere mellem frygten for store tab og ønsket om at udnytte din edge fuldt ud – hvad enten du handler Apple-aktier, Bitcoin eller langsigtede mean-reversion-strategier i futures.
Teorien bag Kelly: sandsynlighed, edge og den optimale andel
Kelly-kriteriet hviler på én central idé: maksimer den forventede logaritme af din formue efter næste indsats. Logaritmen vægter procentuelle gevinster og tab symmetrisk og sikrer, at man i gennemsnit får størst mulig multiplikativ kapitalvækst på lang sigt.
Centrale begreber
| Symbol | Betydning |
|---|---|
| p | Sandsynligheden for gevinst på en enkelt handel |
| q = 1 – p | Sandsynligheden for tab |
| b | Gevinst/tab-forhold (odds). Hvis du risikerer 1 kr. og kan vinde 2 kr., er b = 2. |
| f | Andel af formuen, du risikerer på handlen (positionsstørrelse i % af kapitalen) |
| E[ln(1+fR)] | Forventet log-afkast, hvor R er afkastet på handlen (+b ved gevinst, -1 ved tab) |
Kelly-formlen for én handel
Når afkastet kun har to udfald (gevinst eller tab), viser Kelly, at den optimale andel f* er:
f* = (bp - q) / b
- Er
bp < qfåsf* < 0– altså en negativ edge; den rationelle Kelly-løsning er ikke at tage handlen. - Jo højere
pog/ellerb, desto størref*. Særligt attraktive setups (“fat tail”-gevinster) kan retfærdiggøre relativt store positioner.
Intuitionen
- Overbelåning (f > fₛ) øger risikoen for ruin eksponentielt; du satser så meget, at enkelte uheldige udfald kan halvere eller udrydde kapitalen, selvom forventningsværdien er positiv.
- Underbelåning (f < fₛ) er “sikker”, men giver lavere langsigtet vækst, da logaritmen straffer spildte muligheder.
Forudsætninger – Og hvorfor de sjældent holder perfekt
- Uafhængighed: Udfaldene af handlerne skal være statistisk uafhængige (ingen autokorrelation). Trend-følgende strategier bryder ofte denne antagelse.
- Stationaritet: Parametrene p og b antages konstante over tid. I virkeligheden ændrer markedsregimer, konkurrence, volatilitet og transaktionsomkostninger sig løbende.
- Fravær af ekstreme haler: Kelly ignorerer ukendte “knock-out”-begivenheder (black swans). En lav, men ikke-nul sandsynlighed for -100 % afkast kan gøre enhver Kelly-optimering meningsløs.
Begrænsninger og risiko for drawdowns ved fuld kelly
Selv med korrekt estimerede parametre er fuld Kelly aggressiv:
- For en serie uafhængige handler vil den maksimale peak-to-trough-drawdown i gennemsnit være omkring 2× volatiliteten af log-afkastet. Det betyder, at en strategi med 20 % årlig volatilitet typisk vil opleve >40 % drawdown ved fuld Kelly.
- En simpel tommelfingerregel er, at halvering af Kelly-andelen (½-Kelly) reducerer forventet vækst kun moderat, men halverer drawdown-dybden.
- Begrænsede gearing- eller marginkrav kan tvinge dig til at afvige fra f* og derved miste Kelly-optimalitet.
Resultatet er, at professionelle ofte anvender fractional Kelly, typisk mellem 20 % og 50 % af fuld Kelly, for at balancere vækst og psykologisk/kapitalmæssig bæredygtighed.
Opsummering
Kelly-kriteriet giver en matematisk klar definition på “den optimale andel” i en situation med kendt edge. Men forudsætninger om uafhængighed, stationaritet og fravær af ekstreme tab er stærke – og overtrædelse øger sandsynligheden for store drawdowns. Når teorien møder virkeligheden, er det derfor klogt at kombinere Kelly med konservative tilpasninger, som vi dykker ned i i næste afsnit.
Fra teori til praksis: estimering, usikkerhed og fractional Kelly
1. Estimering af p (hit rate) og payoff-forholdet b
Kelly-formlen for én handel kan skrives som
fKelly = (p · (b+1) – 1) / b
hvor
- p = sandsynligheden for gevinst
- b = gennemsnitlig gevinst i kroner divideret med gennemsnitligt tab (payoff-forhold)
Sådan finder du tallene i praksis
- Indsaml handelsdata
Minimum 30-50 uafhængige observationer; 200+ foretrækkes for robuste estimater. - Beregn p
p = antal vindere / antal handler. - Beregn b
b = (gennemsnitlig gevinst pr. vinder) / (gennemsnitligt tab pr. taber). - Justér for omkostninger
Træk kurtage, spread og forventet slippage fra hver handel før du beregner p og b. - Kontrollér stationaritet
Del datasættet i to tidsperioder og se, om p og b er relativt ens. Store afvigelser kan indikere, at strategiens edge ændrer sig over tid.
2. Indregning af transaktionsomkostninger og slippage
| Komponent | Typisk effekt | Tjekliste |
|---|---|---|
| Kurtage/spread | Sænker både gevinst og tab | Brug broker-specifik prisfil |
| Slippage | Sænker p og/eller b | Simulér med glidende gennemsnit af realiseret glid |
| Finansiering/gearing | Negativ carry øger break-even-krav | Indregn daglig rente/fee i PnL |
Når alle omkostninger er indregnet, genberegner du p og b og indsætter dem i Kelly-formlen.
3. Parameterusikkerhed → fractional kelly
Selv med et velestimeret datasæt er der usikkerhed omkring de fremtidige værdier af p og b. At bruge fuld Kelly (f = fKelly) indebærer stor følsomhed over for fejl i estimaterne og fører ofte til voldsomme drawdowns. Løsningen er fractional Kelly.
Tommelregler
- Brug ½ Kelly, hvis du har 100+ handler og høj konfidens.
- Brug ¼ Kelly ved 30-100 handler eller, hvis strategien har regimeskift.
- Sæt minimum f = 0; negative Kelly-værdier betyder, at strategien ikke har edge → ingen position.
Matematisk justering
ffractional = c · fKelly, 0 < c ≤ 1
Vælg c efter usikkerhedsanalysen (konfidensintervaller eller bootstrap) samt din personlige risikovillighed.
4. Praktiske rammer: Caps, gearing & marginkrav
- Position cap: Fast øvre grænse (fx 15 % af kapitalen) for at undgå idiosynkratisk risikokoncentration, uanset Kelly-output.
- Gearing: Kelly-fraktioen anvendes på nettoeksponeringen. Hvis der kræves 10 % margin, svarer 20 % Kelly-stake til 2× gearing på konto-niveau.
- Likviditet & glid: For mindre likvide aktiver bør du nedskalere yderligere, da stor handelsstørrelse øger slippage eksponentielt.
5. Håndtering af hale-risici
Kelly maksimerer forventet log-vækst, ikke overlevelse. Ekstreme hændelser (flash crash, black swans) kan eliminere kontoen, selv med korrekt Kelly-størrelse. Indfør derfor ekstra forsvarslag:
- Stop-loss eller optionsafdækning for at begrænse ubegrænset downside.
- Multi-periodisk stresstest (Value-at-Risk, CVaR) på tværs af scenarier, inkl. 1987- og 2020-lignende choks.
- Nedskalering i volatile regimer – følg stigning i trailing 30-dages ATR eller VIX.
Ved konsekvent at kombinere data-drevet estimat, omkostningskorrektion, fractional Kelly og robuste risk-controls kan du omsætte Kelly-teorien til en praktisk ramme, der både beskytter kapitalen og accelererer den langsigtede vækst.
Eksempler og beregninger: fra møntkast til handlingsplan
| Parameter | Værdi |
|---|---|
| Vinder-sandsynlighed (p) | 0,50 |
| Tab-sandsynlighed (q = 1-p) | 0,50 |
| Payoff-forhold (b = gevinst/tab) | 1 : 1 |
| Kelly-andel (f* = (b·p – q) / b) | (1·0,50 – 0,50)/1 = 0 % |
Ved et helt fair spil giver Kelly-kriteriet 0 %; der er ingen matematisk grund til at satse.
Eksempel 1b: Skæv mønt med 60 % hit rate
| Parameter | Værdi |
|---|---|
| p | 0,60 |
| q | 0,40 |
| b | 1 : 1 |
| Optimal andel (f*) | (1·0,60 – 0,40)/1 = 0,20 ⇒ 20 % |
- Med 20 % sats af kapitalen på hvert kast maksimeres den forventede logaritmiske vækst.
- Forventet log-afkast pr. kast:
g = p·ln(1+f) + q·ln(1-f) ≈ 0,60·ln(1,20) + 0,40·ln(0,80) ≈ 0,018 (≈ 1,8 %). - Efter 100 uafhængige kast er den forventede kapital ≈ e100·0,018 ≈ 6,1 gange startkapitalen.
- Drawdown-risiko: Simulerer man 10.000 kast ser man typisk 20-30 % peak-to-trough-tab. Halv Kelly (10 %) halverer drawdown til ca. 10-15 %, men reducerer langsigtet vækst til ~75 % af fuld Kelly.
Handelssetup – Lav hit rate, højt payoff
Antag et system, hvor du risikerer 1 kr. for at vinde 4 kr. (R = 4). Historisk hit rate er 25 %.
| Parameter | Værdi |
|---|---|
| p | 0,25 |
| q | 0,75 |
| b | 4 : 1 |
| Kelly-andel (f*) | (4·0,25 – 0,75)/4 = 0,0625 ⇒ 6,25 % |
- Sats 6,25 % af porteføljen pr. trade (eller fx 3 % ved ½ Kelly).
- Forventet log-afkast: g ≈ 0,25·ln(1+0,0625·4) + 0,75·ln(1-0,0625) ≈ 0,0049 (≈ 0,49 %).
- Kapitalvækst: e100·0,0049 ≈ 1,63 ⇒ 63 % vækst efter 100 handler.
- Volatilitet & drawdown: Det høje tabstal (q = 75 %) betyder hyppige serier af tab. Monte-Carlo viser let 25-35 % drawdown ved fuld Kelly. Fractional Kelly anbefales ofte for at beskytte psykologi og margin.
Negativ edge – Når det rette svar er 0
En dag-trader finder et setup med 45 % hit rate og 1 : 1 payoff.
| Parameter | Værdi |
|---|---|
| p | 0,45 |
| q | 0,55 |
| b | 1 : 1 |
| Kelly-andel (f*) | (1·0,45 – 0,55)/1 = -0,10 ⇒ 0 % |
Med negativ Kelly er den optimale positionsstørrelse nøjagtigt nul. Systemet bør droppes eller forbedres, før der bindes kapital.
Fra tal til handlingsplan
- Beregn edge (p, q, b) for hvert setup – uden positiv edge intet bet.
- Anvend Kelly som pejlemærke; reducer ofte til ½ eller ¼ Kelly for at dæmpe drawdowns og parameter-usikkerhed.
- Fastlæg caps (maks. position, gearingsgrænse, likviditetskrav).
- Monitorér løbende – justér p og b, når markedsforhold ændrer sig.
- Nedluk hurtigt, hvis den løbende Kelly-beregning går i nul eller negativ.
Med konkrete tal, disciplineret fractional-brug og en klar exit-plan omsættes Kelly-kriteriet til en praktisk, risikojusteret tilgang til positionsstørrelse – uanset om instrumentet er et møntkast, en aktie eller en krypto-swap.
Kelly i en portefølje: flere aktiver, korrelation og bedste praksis
Hvor den klassiske Kelly-formel angiver den optimale procentdel af kapitalen i én uafhængig sats, må vi i en portefølje tage højde for, at afkastene på flere positioner både varierer i størrelse og påvirker hinanden gennem korrelation. Det betyder, at den samlede risiko ikke blot er summen af de enkelte risici – og at en “perfekt” Kelly-størrelse for én position kan blive alt for aggressiv, når den indgår i et korreleret mix.
Kelly-matrixen: Den multivariate løsning
I den diskrete, lineære form skrives den optimale vægtvektor f* (andel af porteføljen i hvert aktiv) som:
f* = Σ-1 · μ
- μ = forventet merafkastvektor pr. trade eller pr. periode (netto efter omkostninger).
- Σ = kovariansmatrixen for afkast.
Fortolkning:
- Jo højere positivt bidrag i μ, desto større vægt – forudsat moderat kovarians.
- Høj kovarians (= høj korrelation &/eller volatilitet) i Σ skruer vægten ned – “risikoafsalget” øges.
- Negativ korrelation kan øge vægten, fordi aktivet giver diversifikationsgevinst.
Beregningen kræver naturligvis, at Σ kan inverteres stabilt – små datasæt eller næsten perfekte korrelationer giver numeriske problemer, som bør håndteres med f.eks. shrinkage eller faktormodeller.
Korrelationens dobbelte rolle
| Situation | Effekt på Kelly-vægt | Praktisk konsekvens |
|---|---|---|
| Høj positiv korrelation | Vægtene i begge aktiver skaleres ned | Undgå “dobbelt sats” på samme tema |
| Lav / nul korrelation | Næsten uafhængige vægte | Giver genuine diversifikationsgevinster |
| Negativ korrelation | Kan tillade større samlet gear | Hedgingeffekt – men pas på parameterdrift |
Bemærk, at korrelation er ikke statisk; den stiger ofte i stressede markeder, hvilket i praksis forhøjer porteføljerisikoen præcis når du mindst ønsker det.
Indbygget volatilitetstyring – Men ikke et panacea
Kelly-løsningen har integreret volatilitet: fordi Σ indgår i nævneren, falder vægten automatisk i takt med øget varians. Alligevel vælger mange praktikere at:
- Normalisere vægtene, så porteføljen sigter efter en target-volatilitet, f.eks. 10 % p.a.
- Trimme vægtene løbende via Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) vol-estimering.
På den måde reduceres risikoen for at stå med overdimensionerede positioner efter langvarige bull-perioder, hvor variansen har været kunstigt lav.
Praktiske risikorammer og caps
- Fractional Kelly: ½ x eller ¼ x af de teoretiske vægte for at skabe buffer mod parameterusikkerhed.
- Maksimalt tab pr. position: fx 2-3 % af equity – implementeret via stop-loss eller optioner.
- Likviditet & market impact: Minimum 10 dages gennemsnitlig volumen eller “1 bps per 1 million” tommelfingerregel.
- Position limits: Hard cap i pct. af Free Float eller kontraktantal for futures/optioner.
- Gearing-begrænsninger: Understøt krav fra prime broker/CFD-udbyder; Kelly kan sagtens foreslå over-gearing.
Implementeringsworkflow
- Dataindsamling: Download daglige afkast eller trade-log. Rens for outliers/korporative events.
- Estimator-valg:
- Forventet afkast (μ): rullende vindue, Bayesian shrinkage eller Black-Litterman.
- Kovarians (Σ): Ledoit-Wolf shrinkage eller GARCH-baseret.
- Beregn fuld Kelly (
Σ-1·μ) og skaler til fractional Kelly. - Kontrollér constraints: likviditet, gearing, sektor-overlap.
- Ordreplacering: VWAP-algoritme eller iceberg-ordrer for store blokke.
- Efterhandelstjek: Slippage-analyse og realtime-PnL-overvågning.
Løbende monitorering og kalibrering: Tjekliste
- Opdater μ og Σ mindst månedligt; ugentligt for højfrekvente strategier.
- Track faktisk porteføljevolatilitet vs. target – justér hvis afvigelse > 20 %.
- Backtest nye parametre mod seneste 3-5 år for out-of-sample robusthed.
- Rebalancér, når vægte afviger > X pct. point fra teoretisk Kelly; typisk 25-50 bp thresholds.
- Stress-scenarier: 5-10 sigma shocks, korrelationsspikes og likviditetstørring.
- Log alle ændringer i metode og parametre (audit trail).
Sammenlagt giver Kelly-matrixen et matematisk stringent bud på, hvordan du udnytter din edge på tværs af flere aktiver – men dens praktiske succes afhænger af konservativ skalering, disciplineret risikostyring og løbende validering. Brug den som GPS, men husk, at vejen kan være glat, og kortet sjældent 1-til-1 med terrænet.